Рівняння – це математичне вираз, що складається з двох частин, з'єднаних знаком "=". Це означає, що вираз зліва дорівнює виразу справа. Особливістю рівняння є наявність змінної з невідомим значенням, яка позначається літерами латинського алфавіту, зазвичай X (ікс) або Y (гравець), хоча можуть бути інші літери. Число, яке робить рівняння вірним і «врівноважує» вирази з обох боків знака рівності, називається коренем рівняння. Вирішити рівняння — означає знайти значення змінної, яка може бути як зліва, і справа.

Приклади рівнянь:

Невідомі компоненти рівняння

У рівняннях невідомим може бути будь-який компонент виразу:

Наші репетитори з математики для 3 класу підготували пояснення та нагадування про правила знаходження невідомих компонентів.

Як знайти невідомий доданок

Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок.

Крок 1

У даному рівнянні 8 – відомий доданок, Х – невідомий доданок, 39 – сума.

Крок 2

Щоб знайти невідомий доданок, потрібно від суми відняти відомий доданок. Тому в другому рядку запишемо:

Крок 3

Знаходимо значення виразу та записуємо нижче:

Крок 4.

В рівняння замість змінної підставляємо отримане число, виконуємо перевірку. Якщо отримана рівність правильна, то рівняння вирішено правильно.

Зліва 39, праворуч 39, корінь рівняння знайдено.

Як знайти невідоме зменшуване

Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання.

Крок 1

У даному рівнянні Х – невідоме зменшуване, 15 – віднімання, 21 – різницю.

Крок 2

Щоб знайти невідоме зменшуване, потрібно до різниці додати віднімання.Тому в другому рядку запишемо:

Крок 3

Знаходимо значення виразу та записуємо нижче:

Крок 4.

В рівняння замість змінної підставляємо отримане число, виконуємо перевірку. Якщо отримана рівність правильна, то рівняння вирішено правильно.

Зліва 21, праворуч 21, корінь рівняння знайдено.

Як знайти невідомий віднімається

Щоб знайти невідомий віднімається, потрібно зменшуваного відняти різницю.

Крок 1

У даному рівнянні 98 – зменшується, Х – невідомий віднімається, 17 – різницю.

Крок 2

Щоб знайти невідомий віднімається, потрібно зменшуваного відняти різницю. Тому в другому рядку запишемо:

Крок 3

Знаходимо значення виразу та записуємо нижче:

Крок 4.

В рівняння замість змінної підставляємо отримане число, виконуємо перевірку. Якщо отримана рівність правильна, то рівняння вирішено правильно.

Зліва 17, праворуч 17, корінь рівняння знайдено.

Як використовувати вміння розв'язувати рівняння?

Прості рівняння це потужний інструмент для вирішення реальних завдань. Переводячи різні ситуації рівняння і вирішуючи їх, ми можемо ефективно вирішувати різноманітні повсякденні проблеми. Цей підхід дозволяє систематично знаходити рішення, роблячи процес вирішення структурованішим. Рівняння є важливим інструментом, який може значно спростити складні завдання.

Олександра До.

Автор блогу
Репетитор математики з вищою освітою – магістр педагогічних наук. Досвід роботи 12 років, що спеціалізується на навчанні учнів початкової школи.

Це буде більше практичне заняття. Тому одразу почнемо з прикладу простіше. Розглянемо спочатку рівняння.

1) Необхідно вирішити рівняння:

Для початку варто відзначити, що знак модуля повертає «абсолютне значення» числа, тобто саме значення (і прибираючи знак мінус, якщо просто залишаючи тільки плюс). Якщо коротше, то:
Сенс модуля — це відстань, а відстань може бути негативним числом. Тому, прибираючи модуль, ми точно не можемо дізнатися, яке число було під його знаком: негативне чи позитивне. Нам необхідно врахувати усі можливі варіанти. Тому, розкриваючи знак модуля, розпишемо наше рівняння на два:
Тепер нам потрібно розв'язати два рівняння. У двох рівняннях залишаємо змінну ліворуч від знака рівності і всі числа перенесемо праворуч:
У результаті отримуємо відповідь, до якої підуть два числа, знайдені нами:
Відповідь: 1; 3. Тепер розглянемо приклади із нерівностями. Тут починається складність у розкритті знака модуля. Для спрощення візьмемо те саме рівняння, але перепишемо його, помінявши знак рівності спочатку на знак більше, а третьому прикладі на знак менше.

2) Розв'яжіть нерівність:

Тут модуль не просто забереться, він буде розкритий по-іншому:
Якщо це дуже складно для розуміння, то спочатку варто просто це спробувати запам'ятати. З часом все стане зрозумілим, і ви зможете з легкістю вирішувати ці види нерівностей. Цей запис означає, що центральне вираз менше, ніж -1, але більше, ніж 1. Вирішується воно аналогічно.
Отже, ми фактично вже маємо відповідь. А саме відповіддю в даному випадку будуть усі числа, які менше 1 і більше 3. Причому слід зазначити, що оскільки нерівність несувора, то і числа 1 і 3 також входитимуть до розв'язання нерівності та дужки будуть квадратні. Перезапишемо нерівність через проміжки:
Не забуваємо про те, що ліворуч від 1 стоїть число , а праворуч від 3 – і у символів нескінченності ставляться лише круглі дужки. Відповідь:

3) Знайдіть «x»:

Для кращого освоєння теми візьмемо сувору нерівність. Це означає, що числа, які ми отримаємо у відповідь, входитимуть до розв'язання нерівності. Цей вид нерівності також розкриватиметься по-іншому. А саме:
Причому нерівність вище можна також записати як Цей запис означає, що центральне вираз більше, ніж -1, але менше, ніж 1. Вирішується воно аналогічно. Для того, щоб невідома змінна залишилася в центрі, нам потрібно буде додати двійку до кожної з частин рівнянь.
Отже, у нас фактично вже є відповідь. А саме відповіддю в даному випадку будуть усі числа, що знаходяться між 1 і 3. Перезапишемо нерівність через проміжок:
Слід нагадати, що за умовою нерівність не сувора, тож і дужки будуть круглими. Це означає, що числа 1 і 3 не входитимуть до самого рішення. Відповідь: (1; 3). Розглянемо складніше рівняння з модулем. Необхідно знайти всі значення параметра а, при яких наступне рівняння має рівно чотири корені:
Перетворимо рівняння, замінивши модуль на якусь змінну. Наприклад, на змінну t:
Тут дуже важливо вказати, що нова змінна має бути невід'ємною, інакше ми вирішимо рівняння невірно і візьмемо неправильне коріння, яке не підійде під зміст завдання. Розглянемо уважніше квадратне рівняння, що вийшло. У будь-якого рівняння другого ступеня є два корені, якщо рівняння можна вирішити. Коли ми знайдемо коріння, треба буде по черзі підставити їх під знак модуля та отримати відповідь. Тобто у нас будуть 4 шукані корені. Рішення ускладнюється тим, що ми маємо невідомий параметр a, значення якого нам необхідно знайти, щоб і вийшло чотири корені. Тепер знову повернемось до нашої заміни.Ми вказали на обов'язкову вимогу, що t не повинно бути негативним числом. Це означає, що і два корені нашого нового рівняння також не повинні бути негативними числами і не нулем (інакше буде не чотири корені, а три максимум), а саме:
Наше рівняння – це парабола. Причому ми знаємо, гілки її спрямовані вниз чи вгору. Будемо перевіряти. Задамо умови, які мають виконуватися одночасно, якщо гілки параболи спрямовані вниз: a < 0 (оскільки гілки спрямовані вниз); D >0 (дискримінант завжди повинен бути більшим за нуль, щоб у нас вийшло два корені) (вершина нової параболи) і f(0) < 0. Задамо умови, які повинні виконуватися одночасно, якщо гілки параболи спрямовані вгору: a >0 (так як гілки спрямовані нагору); Тепер спробуємо розрахувати квадратне рівняння докладніше: причому це виконуватиметься завжди.
Отже, перший випадок, коли гілки параболи спрямовані вниз, ми не розглядатимемо, оскільки не виконуються всі умови (а саме f(0) <0). Перепишемо умови для параболи з гілками вгору з огляду на розраховані нами значення:
Отримуємо проміжок значень для параметра від 0 до 0,5. І оскільки нам не треба шукати саме коріння за умовою, то у відповідь йдуть тільки значення параметра а. Відповідь: вихідне рівняння має чотири корені при

Які проблеми можуть виникати при їх вирішенні

1) Для початку це сама умова завдання: 1.1) Можна його не так прочитати і повністю відхилитися від правильного розв'язання рівняння чи нерівності. 1.2) Неправильно прочитавши або не дочитавши умову завдання, є ймовірність, що ви не дасте відповідь на поставлене в умові питання та/або не повну відповідь. 2) Потім вид рівняння/нерівності: 2.1) У найпростіших рівняннях із модулем складно заплутатися, як правильно розкривається знак модуля.Проте, навіть це можна забути. Потрібно регулярно повторювати пройдені теми, щоб надалі не зупинятися на цьому і не гаяти багато часу на виправлення помилок. 2.2) У нерівностях модуль розкривається декількома способами, тут також важливо не заплутатися плюс може знадобитися і метод інтервалів для знаходження відповіді. 2.3) У складних нерівностях, наприклад, що ми розглянули останнім, можуть зустрітися незвичайні умови. Тому треба переконатися, що ви зрозуміли його правильно і потім тільки думати про спосіб, яким ви вирішуватимете. 3) І саме собою зрозуміле – неправильний підрахунок. З великими та складними завданнями легко заплутатися навіть у невеликих числах. Тому варто вирішувати повільно і вдумливо, і в кінці перевіряти ще раз себе.

Рівняння – одне з наріжних понять усієї математики. Як шкільної, так і найвищої. Має сенс розібратися, правда? Тим більше що це дуже просте поняття. Нижче самі переконайтесь. 🙂 Так що ж таке рівняння?

Те, що це слово однокореневе зі словами "рівний", "рівність", заперечень, гадаю, ні в кого не викликає.

Рівняння – це два математичні вирази, з'єднаних між собою знаком "Але … не яких попало." А таких, у яких (хоча б в одному) міститься невідома величина. Або, інакше, змінна величина. Або, скорочено, просто "змінна". Яка зазвичай позначається буквою "х".

Змінних може бути одна, може бути кілька. У шкільній математиці найчастіше розглядаються рівняння з однієї змінної. І ми теж поки що розглядатимемо рівняння з однією змінною. Із двома змінними чи більше — у спеціальних уроках.

Що означає розв'язати рівняння?

Змінна, що входить до рівняння, може приймати будь-які допустимі математикою значення. На те вона змінна. 🙂 За якихось значень змінної виходить вірна числова рівність, а за якихось — ні.

Вирішити рівняння означає знайти ВСІ такі значення змінної, при підстановці яких у вихідне рівняння виходить вірна рівність. Або, більш науково, вірна тотожність. Або довести, що таких значень змінної немає.

Що таке правильна рівність? Ця рівність, що не викликає сумнівів навіть у людини, абсолютно не обтяженої глибокими математичними знаннями. Наприклад, 5 = 5, 0 = 0, -10 = -10. І так далі. 🙂

Значення змінної, при підстановці яких досягається це саме правильна рівність, називаються дуже красиво та науково – коріння рівняння.

Корінь може бути один, може бути кілька. А може бути і нескінченно багато коренів – Цілий інтервал або навіть взагалі вся числова пряма від –∞ до +∞. Так, таке теж буває! Все від конкретного рівняння залежить.)

А буває й таке, що не можна знайти такі ікси, які б давали нам правильну рівність. Принципово не можна. З певних причин. Немає таких іксів…

У таких випадках зазвичай кажуть, що рівняння не має коріння.

Навіщо потрібні рівняння?

Питання смішне. Для життя! У школі, як правило, рівняння потрібні для вирішення текстових завдань. Це, нагадую, завдання на рух, на роботу, на відсотки та багато інших.

А у дорослому житті без рівнянь неможливі було б відповісти навіть на звичайнісінькі, але життєво важливі питання повсякденності: яка буде погода завтра, чи витримає задане навантаження будівля. Або ліфт. Або літак.Куди потрапить ракета… І не було б зараз серед нас синоптиків, інженерів, бухгалтерів, економістів, програмістів… За непотрібністю. Вселяє?)

Чому так? А тому, що рівняннями описуються майже всі відомі людині природні явища та процеси. Зміна тиску та температури повітря з висотою, закон всесвітнього тяжіння, розмноження бактерій, радіоактивний розпад, хімічні реакції, електрика, попит та пропозиція – в основі всього цього лежать математичні рівняння! Прості, складні – всякі. Яке явище чи ситуація, таке й рівняння.)

Рівняння – дуже потужний і універсальний інструмент для вирішення різних прикладних завдань.

А які бувають рівняння?

Рівнянь у математиці незліченну кількість. Найрізноманітніших видів. Але все різноманіття рівнянь можна умовно розділити лише на 4 категорії:

3. Дробові (або дробово-раціональні),

Різні категорії рівнянь вимагають різного підходу до їх вирішення: лінійні рівняння вирішуються одним способом, квадратні — іншим, дробові — третім, тригонометричні, логарифмічні, показові та інші — теж вирішуються своїми методами.

Інші рівняння, зрозуміло, найбільше, так…) Це і ірраціональні, і тригонометричні, і показові, і логарифмічні, і багато інших рівнянь. І навіть диференціальні рівняння (для студентів), де роль невідомого відіграє не число, а функція. Або навіть сімейство функцій. 🙂

У відповідних уроках ми докладно розберемо ці типи рівнянь. А тут у нас — базові прийоми та правила.

Називаються ці правила. тотожні (або — рівносильні) перетворення рівнянь. Їх лише два. І ніде їх не оминути. Тож знайомимося!

Як розв'язувати рівняння? Тотожні (рівносильні) перетворення рівнянь.

Рішення будь-якого рівняння полягає в поетапному перетворенні виразів, що входять до нього. Але перетворень не аби яких, а таких, щоб від кроку до кроку суть всього рівняння не змінювалася. Незважаючи на те, що після кожного перетворення рівняння видозмінюватиметься і, в кінцевому рахунку, стане зовсім не схоже на вихідне.

Такі перетворення в математиці називаються рівносильними або тотожними. Їх досить багато, але серед усього різноманіття тотожних перетворень рівнянь виділяється два базові. Про них і йтиметься у цьому уроці. Так-так, лише два! Але – вкрай важливих! І кожне з них заслуговує на окрему увагу.

Застосування цих двох тотожних перетворень у тому чи іншому порядку гарантує успіх у вирішенні 99% рівнянь математики. Заманливо, правда?

Перше тотожне перетворення:

До обох частин рівняння можна додати (або відібрати) будь-яке (але однакове!) Число або вираз (у тому числі і зі змінною). Суть рівняння від цього зміниться.

Це перетворення ви застосовуєте усюди, наївно думаючи, що переносите якісь члени з однієї частини рівняння до іншої, змінюючи знаки. 🙂

Наприклад, таке круте рівняння:

Тут і думати нема чого, перекидаємо трійку вправо, міняючи мінус на плюс:

А що ж відбувається насправді? А насправді ви… додаєте до обох частин рівняння трійку!

Ось що у вас відбувається:

І результат виходить тим самим:

Ось і все. Ліворуч залишається чистий ікс (чого ми, власне, і домагаємося), а праворуч — що вже вийде. Але найголовніше те, що від додавання трійки до обох частин суть усього рівняння не змінилася!

Справа в тому, що звичний нам перенесення доданків з однієї частини до іншої зі зміною знака — це просто скорочений варіант першого тотожного перетворення.

І навіщо нам так глибоко копати? У рівняннях — нема чого. Переносьте собі спокійно і не парьтеся. Тільки знаки міняти не забувайте.) А от у нерівностях звичка до перенесення може й трохи збентежити, так…

Це було перше тотожне перетворення. Переходимо до другого.

Друге тотожне перетворення:

Обидві частини рівняння можна помножити (розділити) на те саме відмінне від нуля число або вираз.

Це тотожне перетворення ми постійно застосовуєте, коли вирішуєте щось зовсім моторошне типу:

Тут кожному ясно, що х = 3. А ось як ви отримали цю відповідь? Підібрали? Вгадали?

Щоб не підбирати і не ворожити (ми з вами математики, а не ворожки), потрібно зрозуміти, що ви просто поділили обидві частини рівняння на четвірку. Яка нам і заважає.

Ця палиця з поділом означає, що на четвірку діляться обидві частини нашого рівняння. Через дроби ця процедура виглядає так:

Зліва четвірки благополучно скорочуються, залишається ікс на самоті. А праворуч при розподілі 12 на 4 виходить, ясна річ, трійка. 🙂

Звучить неймовірно, але ці два (всього два!) прості перетворення лежать в основі рішення всіх рівнянь математики! Так-так, саме всіх, я анітрохи не перебільшую! Від лінійних та квадратних у школі до диференціальних у ВНЗ.)

Ну що, подивимося на тотожні перетворення рівнянь у дії?

Застосування тотожних перетворень до розв'язання рівнянь.

Почнемо з першого тотожного перетворення. Перенесення вправо-вліво.

Справа нехитра. Це лінійне рівняння. Працюємо прямо за заклинанням: "З іксами вліво, без іксів – праворуч".

Ця мантра – універсальна інструкція із застосування першого тотожного перетворення. Ось і дивимося на рівняння. Який доданок з іксом у нас справа? Що? 2х? Не-а!) Праворуч у нас -2х (мінус два ікс)! Тому при перенесенні в ліву частину мінус зміниться на плюс:

1 – х +2х = 3

Півсправи зроблено, ікси зібрали зліва. Залишилось усі числа зібрати праворуч. Зліва в рівнянні стоїть одиниця. Знову питання – з яким знаком? Відповідь "з ніяким" не котить.) Ліворуч перед одиницею і справді нічого не написано. А це означає, що перед нею стоїть знак "плюс". Так уже в математиці повелося: нічого не написано — значить плюс.)

І тому праворуч одиниця перенесеться вже з мінусом:

-х + 2х = 3 – 1

Ось майже все. Зліва наводимо подібні, а праворуч – рахуємо. І отримуємо:

Це було дуже примітивне рівняння.

Тепер приклад крутіший, для старшокласників:

Рівняння логарифмічне. Ну то й що? Яка різниця? Все одно першим кроком робимо базове тотожне перетворення ("З іксами вліво …."). Для цього доданок з іксом (тобто, –log₃x) переносимо вліво. Зі зміною знака:

А числове вираз (log₃4) переносимо вправо. Також зі зміною знака, очевидно:

Ось і все. Праворуч вийшла чиста формула. Хто товаришує з логарифмами, той в умі дорішає рівняння та отримає:

Що? Бажаєте синуси? Будь ласка, ось вам синуси:

І знову все те саме! Виконуємо перше тотожне перетворення – переносимо sin x вліво (з мінусом), а -0,25 переносимо вправо (з плюсом):

Отримали найпростіше тригонометричне рівняння з синусом, вирішити яке (для знаючих) також не складає ніяких труднощів.

Бачите, наскільки універсальним є перше рівносильне перетворення! Зустрічається всюди і всюди і не обійти його ніяк … Саме тому так важливо вміти його робити на автоматі і без помилок.

Власне, помилитися тут можна лише в одному — забути змінити знак під час перенесення. Що і відбувається часто-густо. Уважність ніхто не скасовував, так…)

Ну що, продовжуємо наші ігри? Розважаємось тепер зі другим перетворенням!)

Крутяк, прямо скажемо.) Гаразд, це емоції.

Дивимось і розуміємо: що нам заважає у цьому рівнянні? Що-що… Та сімка заважає! Добре було б її позбутися. Так, щоб вихідне рівняння не зіпсувати.)

Але як? Перенести праворуч? Ееєє… Стоп! Не можна.) Сімка з іксом множенням пов'язана. Коефіцієнт, бачите.) Не можна її відірвати від ікса і право перенести. Ось весь вираз 7х цілком – будь ласка (питання – навіщо?). А сімку окремо – ніяк немає.

Саме час про множення/поділ згадати! Адже нам у відповіді чистий ікс потрібен, чи не так? А сімка — заважає. Ось і ділимо ліву частину на сім. "Очищаємо" ікс від коефіцієнта. Так нам треба. Але тоді й праву частину теж треба поділити на сім: цього вже математика вимагає. Що вже там вийде, те й вийде. Але приклад добрий. Я старався.) 28 на 7 чудово ділиться. Вийде 4.

Що тут нам заважає? Дріб 1/6, чи не так? Ось давайте і позбудемося її. Безпечно для рівняння.) Як? Ну, можна зробити аналогічно – поділити обидві частини на цю саму 1/6. Але в умі це не дуже зручно. Дехто і заплутається.

Але ж ми не тільки ділити, ми ще й множити вміємо!) Згадуємо з молодших класів, після якої дії у нас пропадає дріб? Правильно! Дроб у нас пропадає при множенні на число, що дорівнює (або кратне) її знаменнику.Ось і помножимо обидві частини нашого рівняння на 6. Зліва все одно чистий ікс вийде, а множення правої частини на 6 – не найважча робота.

Ось і все.) Примноження обох частин рівняння на потрібне число дозволяє відразу позбавлятися дробів, минаючи проміжні викладки, в яких, між іншим, запросто можна і помилок наляпати. Коротше дорога – менше помилок!

Тепер знову на машину часу і в старші класи:

Щоб дістатися до ікса і цим вирішити це круте тригонометричне рівняння, нам треба спочатку отримати зліва чистий косинус, без жодних коефіцієнтів. А двійка заважає. 🙂 Ось і ділимо на 2 усю ліву частину:

Але тоді й праву частину також доведеться розділити на двійку: це вже МАТЕМАТИЦІ треба. Ділимо:

Отримали праворуч табличне значення косинуса. І тепер рівняння вирішується за милу душу.)

Ось і вся премудрість. Як бачите, тотожні перетворення рівнянь штука корисна. І при цьому не найскладніша. Перенесення і збільшення/розподіл. Однак далеко не всі вони виходять з першого разу і без помилок, ох не у всіх… Основні проблеми тут дві.

Проблема перша (для малодосвідчених):

Іноді учень думає, що спрощення рівнянь робиться по одному, раз і назавжди встановленому правилу. І ніяк не може вловити і зрозуміти це правило: у якихось прикладах починають із домноження (або поділу), у якихось – з перенесення. Десь три рази переносять і жодного разу не примножують.

Наприклад, таке лінійне рівняння:

З чого починати? Можна розпочати з перенесення:

А можна спочатку поділити обидві частини на п'ятірку, а потім переносити. Тоді відразу числа простіше стануть:

Як бачимо, так і сяк вирішувати можна. І це – у примітивному прикладі! Ось і виникає у недосвідчених учнів питання: "Як правильно?"

По-різному правильно! Кому як зручніше. 🙂 Універсального рецепта тут немає і не може бути. Математика пропонує вам на вибір два види перетворень рівнянь. А порядок цих перетворень залежить виключно від вихідного рівняння, а також від особистих переваг і звичок вирішального.

Проблема друга (для всіх…ну… майже):

Помилки у обчисленнях. У перетвореннях завжди доводиться перемножувати дужки. Укладати вирази у дужки та розкривати дужки. Помножувати та ділити дроби. Працювати зі ступенями… Коротше, є весь набір елементарних дій математики. З усіма…

Обидві ці проблеми усуваються лише одним способом. практикою. Зникають сумніви та помилки. Приклади стають простішими, завдання – легше. І в результаті не математика командує вами, а ви математикою. 🙂