Перехідна характеристика – це реакція системи на одиничний стрибок (див. (2.20)).

Вона характеризує якість перехідного процесу та дозволяє визначити прямі показники якості системи. Основними показниками, що визначаються за її видом (див. рис.2.28), є:

a). Час перехідного процесу t _п ( або час регулювання). Це найважливіший показник, що характеризує швидкодія системи. Для визначення на графіці характеристики проводять дві прямі, паралельні осі 0 t, віддалені від встановленого значення h _вуст на величину 0,05 h _вуст у той та інший бік (трубка 5%). t _п – це час, коли перехідна характеристика входить у трубку 5% і більше із неї не виходить.

b). Перерегулювання

Перехідний процес має аперіодичний або коливальний характер. Для систем радіоавтоматики він більшою мірою має коливальний характер. Для інерційних систем рівень коливання обмежують, для електронних систем радіоавтоматики коливність допускається, але її доводиться обмежувати, оскільки вона є непрямою характеристикою запасу стійкості системи. За перехідною характеристикою коливання визначається за величиною перерегулювання σ (див. формулу (2.77)).

Перерегулювання σ характеризує ступінь видалення системи від коливальної межі стійкості (у разі знаходження системи на коливальній межі стійкості у системі спостерігаються незатухаючі коливання та σ = 100%).Запас стійкості вважається достатнім, якщо . Іноді допускається перерегулювання до 70%, а деяких випадках не допускається взагалі (для інерційних систем).

c). Число коливань r за час перехідного процесу. Цей показник коливання виключно легко визначається за видом перехідної характеристики. Допустиме число коливань зазвичай не більше, для слабо коливальних систем – менше одного коливання. Знаючи період коливань перехідної характеристики за величиною r Неважко (хоч і приблизно) визначити час перехідного процесу.

Таким чином, за видом перехідної характеристики можна визначити такі показники якості системи:

· Час перехідного процесу t_п;

· Перерегулювання ;

· Число коливань r під час перехідного процесу.

2.7.2. Показники, що визначаються за видом частотних характеристик

Непрямі методи аналізу динаміки лінійних безперервних систем ґрунтуються на застосуванні частотних характеристик. Для визначення показників якості системи у замкнутому стан використовується амплітудно – частотна характеристика системи в замкнутому стані та дві частотні характеристики комплексного коефіцієнта передачі системи в розімкнутому стані (Докладно ці характеристики описані в розділі 2.3.3).

· Амплітудно – частотна характеристика системи у замкнутому стані.

· Амплітудно – фазова характеристика (АФГ).

· Логарифмічні частотні показники (ЛАХ).

2.7.2.1. Показники якості, що визначаються на вигляд амплітудно – частотної характеристики системи в замкнутому стані.

Передатна функція системи у замкнутому стані є формулою (2.61)

Отже, комплексний коефіцієнт передачі системи у замкнутому стані має вигляд

Модуль цього комплексного коефіцієнта є амплітудно – частотна характеристика системи в замкнутому стані (рис. 2.29).

Якщо перехідна характеристика системи має аперіодичний характер, то . – Незростаюча функція частоти ω, якщо коливальний – то функція . має максимум. У тому випадку, коли система знаходиться на коливальній межі стійкості (незгасні коливання перехідної характеристики постійної амплітуди) величина цього максимуму прагне нескінченності, а функція . має розрив. Таким чином, чим більше максимальне значення , тим менший запас стійкості системи.

Непрямою характеристикою запасу стійкості та рівня коливності системи служить показник коливання

представляє собою відношення максимального значення амплітудно-частотної характеристики системи в замкнутому стані до значення цієї характеристики при ω = 0. Для астатичних систем A _з(0)=1, для статичних A _з (0) = при . Отже, = .

Використовуючи розглянуту характеристику, швидкодія системи можна оцінити за величиною смуги пропускання ∆ω. Це значення частоти ω, коли = 0,7. Чим ширша смуга пропускання ∆ω, тим вища швидкодія системи.

При M >> 1 резонансна частота ω_m наближається до частоти коливань перехідної характеристики, таким чином період коливань перехідної характеристики дорівнює . За величиною показника коливання M можна визначити кількість коливань r перехідного процесу та оцінити час перехідного процесу.

Наближені співвідношення, що визначають залежність між параметрами систем не вище четвертого порядку, наведені в табл. 2.4.

Отже, на вигляд амплітудно – частотної характеристики системи у замкнутому стані можна визначити такі показники динаміки системи:

· показник коливання M;

· смугу пропускання ∆ω;

· резонансну частоту ω _m

· період коливань перехідної характеристики ;

· кількість коливань r перехідного процесу;

· оцінити час перехідного процесу .

studopedia.org – Студопедія. Орг – 2014-2025 рік. Студопедія не є автором матеріалів, які розміщені. Але надає можливість безкоштовного використання (0.007 с).

В електричних ланцюгах можливі включення та відключення окремих гілок, короткі замикання ділянок ланцюга, різного роду перемикання. Будь-які зміни в електричних ланцюгах можна подати у вигляді перемикань або комутацій. Характер комутації вказується у схемі за допомогою рубильника зі стрілкою. У напрямку стрілки можна судити, замикається чи розмикається рубильник.
При комутації ланцюга виникають перехідні процеси, тобто. процеси переходу струмів і напруг від одного значення до іншого.
Зміни струмів та напруг викликають одночасну зміну енергії електричного та магнітного полів, пов'язаних з елементами ланцюга – ємностями та індуктивностями. Однак енергія електричного поля та енергія магнітного поля можуть змінюватися лише безперервно, оскільки стрибкоподібна зміна зажадала від джерела нескінченно великої потужності. На цьому міркуванні ґрунтуються закони комутації.

Перший закон. У будь-якій гілки з індуктивністю струм не може змінюватися стрибком і в момент комутації зберігає значення, яке він мав безпосередньо перед моментом комутації.

де i_L (0₊) – Струм у гілки з індуктивністю в момент комутації, відразу після комутації. Знак "+" у формулі зазвичай не записується. Час перехідного процесу відраховується з моменту комутації;
i_L (0_–) – Струм в індуктивності безпосередньо перед комутацією.

Другий закон. Напруга на ємності відразу після комутації зберігає те значення, яке мало безпосередньо перед моментом комутації.

де u_C (0₊) – Напруга на ємності в момент комутації;
u_C (0_–) – Напруга на ємності безпосередньо перед моментом комутації.

Допущення, що застосовуються під час аналізу перехідних процесів.

1. Вважають, що перехідний процес триває нескінченно багато часу.

2. Вважають, що замикання та розмикання рубильника відбувається миттєво, без утворення електричної дуги.

3. Приймають, що на момент комутації попередні перехідні процеси в ланцюзі закінчилися.

Відповідно до класичного методу розрахунку, перехідний струм у гілки схеми представляють у вигляді суми вимушеного та вільного струмів.

де i_пр(t) – вимушений струм, визначається в режимі, що встановився після комутації. Цей струм створюється зовнішнім джерелом живлення. Якщо в ланцюг включено джерело постійної ЕРС, вимушений струм буде постійним, якщо в ланцюзі діє джерело синусоїдальної ЕРС, вимушений струм змінюється за періодичним, синусоїдальним законом;
i_св(t) – вільний струм, що визначається у схемі після комутації, з якої виключено зовнішнє джерело живлення. Вільний струм створюється внутрішніми джерелами живлення: ЕРС самоіндукції індуктивності або напругою зарядженої ємності.

Вільний струм визначають за такою формулою:

Кількість доданків у формулі дорівнює числу реактивних елементів (індуктивностей та ємностей) у схемі.
P₁, P₂ – Коріння характеристичного рівняння.
А₁, А₂ – постійні інтегрування, що визначаються за допомогою початкових умов.
Початкові умови – це перехідні струми та напруги в момент комутації, в момент часу t, що дорівнює нулю.
Початкові умови можуть бути незалежними чи залежними.
Незалежними називають початкові умови, що підкоряються законам комутації, законам поступової, безперервної зміни. Ця напруга на ємності u_c(0) та струм у гілки з індуктивністю i_L(0) у момент комутації.
Інші початкові умови: напруга і струм у галузі з опором u_R(0) та i_R(0), напруга на індуктивності u_L(0), струм у гілки з ємністю i_C(0) – це залежні початкові умови. Вони не підкоряються законам комутації і можуть змінюватися стрибком.

8.2. Перехідні процеси в ланцюгах
з одним реактивним елементом

Коротке замикання в R-L ланцюга

На рис. 8.1 зображено електричний ланцюг, у якому включено джерело постійної ЕРС. В результаті комутації рубильник замикається та утворюється замкнутий на себе R-L контур.

До комутації з індуктивності протікав струм

Цей струм створював постійне магнітне поле індуктивної котушці.

Визначимо закон зміни струму в індуктивності після комутації.
Відповідно до класичного методу

Вимушений струм після комутації замикається через рубильник, що має нульовий опір і через індуктивність не протікає. Індуктивний струм має лише вільну складову

Магнітне поле, зникаючи, індукує в індуктивній котушці ЕРС самоіндукції. Вільний струм R-C контурі існує за рахунок цієї електрорушійної сили.
Запишемо рівняння для вільного струму R-L контурі, використовуючи другий закон Кірхгофа.

Шукаємо рішення цього рівняння у вигляді експонентів

Підставимо значення вільного струму та похідної струму до рівняння (8.1)

Рівняння (8.2), отримане з рівняння (8.1), називається характерним.

– Корінь характеристичного рівняння.

– Постійна часу перехідного процесу, що вимірюється в секундах.
Постійна часу – це інтервал часу, за який перехідний струм зменшується в e раз.

Постійну інтеграцію А визначаємо за допомогою початкової умови.

Відповідно до першого закону комутації,

Напруга на індуктивності.

На рис. 8.2 зображені криві перехідного струму у гілки з індуктивністю та перехідної напруги на індуктивності. Перехідний струм та напруга по експоненті прагнуть нуля. В інженерних розрахунках вважають, що через інтервал часу, що дорівнює (4 ÷ 5)τ, перехідний процес закінчується.

Підключення R-L ланцюга до джерела постійної ЕРС

У схемі на рис. 8.3 до комутації рубильник розімкнуто. В результаті комутації рубильник замикається та підключає R-L ланцюг до джерела постійної ЕРС. Визначимо закон зміни струму i(t).

Вимушений струм у режимі після комутації

У вільному режимі із схеми виключено зовнішнє джерело живлення. Схема на рис. 8.3 без джерела ЕРС нічим не відрізняється від схеми на рис. 8.1.

Вільний струм визначається за формулою
.
Запишемо значення перехідного струму для моменту
комутації (t = 0). ,
звідки.

До комутації рубильник був розімкнений, і струм у схемі був відсутній.
Відразу після комутації струм індуктивності залишається рівним нулю.

Напруга на індуктивності

На рис. 8.4 зображені криві перехідного, вимушеного, вільного струмів та перехідної напруги на індуктивності.

Вільний струм та напруга на індуктивності плавно зменшуються до нуля. У момент комутації вільний та вимушений струми однакові за абсолютною величиною.
Перехідний струм починається при включенні з нуля, потім зростає, наближаючись до постійного значення, що встановилося.

Коротке замикання в R-C ланцюга

У схемі на рис. 8.5 в результаті комутації рубильник замикається і утворюється замкнутий на себе R-C контур.
До комутації ємність повністю зарядилася до напруги, що дорівнює ЕРС джерела живлення, тобто u_c(0-) = E. Після комутації ємність повністю розряджається, отже, вимушений струм R-C ланцюга і вимушена напруга на конденсаторі дорівнюють нулю.

У ланцюзі існує лише вільний струм за рахунок напруги зарядженого конденсатора.
Запишемо для R-C контуру рівняння за другим законом Кірхгофа
.

Струм через конденсатор.

Розв'язання цього рівняння.

Підставимо значення вільної напруги та похідної від напруги

Рівняння називається характеристичним.

– Корінь характеристичного рівняння;

– Постійна часу перехідного процесу;

Перехідний струм та перехідна напруга на конденсаторі за показовим законом зменшуються до нуля (рис. 8.6).

Підключення R-C ланцюга до джерела постійної ЕРС

Вважаємо, що до комутації конденсатор не заряджений, напруга на ньому_c(0-) = 0.
В результаті комутації рубильник замикається і конденсатор повністю заряджається (рис. 8.7).
Вимушена напруга на ємності дорівнює ЕРС джерела живлення_cпр= E.

Відповідно до другого закону комутації

Криві напруги та струму зображені на рис. 8.8.

8.3. Перехідні процеси в ланцюгах
з двома реактивними елементами

При послідовному з'єднанні опору R, котушки індуктивності L і конденсатора утворюється електричний R-L-C контур (рис. 8.9).
Диференціальне рівняння для струму в контурі

Після диференціювання по t і поділу на L отримаємо

Рішення рівняння (8.4) дорівнює сумі вимушеної та вільної складових
.
У нашому випадку вимушена складова перехідного струму дорівнює нулю, так як у схемі є ємність, що є розривом ланцюга постійного струму.
Мал. 8.9

Вільна складова є загальним рішенням рівняння

Після підстановки цих виразів у рівняння (8.5) отримаємо характеристичне рівняння

– Кутова резонансна частота контуру без втрат.

Вид коріння залежить від відношення

де – характеристичний чи хвильовий опір контуру;

Коливальний режим

Найбільш важливий випадок, що часто зустрічається, коли коріння P_1,2 – комплексні пов'язані з негативною речовою частиною, вільна складова має вигляд загасаючих коливань. У цьому випадку

де – Кутова частота власних коливань у контурі;

– Період власних коливань.

Струм у ланцюгу

де А і – постійні інтегрування.

До комутації струм в індуктивності дорівнює нулю, відразу після комутації залишається рівним нулю

Щоб визначити дві постійні інтегрування, необхідно мати дві початкові умови та скласти два рівняння. Напруга на індуктивності

де – Напруга на індуктивності в момент комутації, є залежною початковою умовою. Складемо рівняння за другим законом Кірхгофа для моменту комутації, щоб визначити залежну початкову умову.

До комутації конденсатор був не заряджений, тому

Підставляючи (8.6) і (8.7) t = 0 і використовуючи незалежне і залежне початкові умови, отримаємо систему рівнянь

Вирішивши систему (8.8), визначимо

На рис. 8.10 наведено криву зміни струму в контурі при підключенні до нього джерела постійної ЕРС. З малюнка видно, що коливання в контурі загасають за показовим законом через втрату електричної енергії в опорі R. Загасання відбувається тим повільніше, чим менше коефіцієнт загасання α.

Постійна часу перехідного процесу.

При малому коефіцієнті загасання величина ω_З незначно відрізняється від резонансної частоти₀.
Відносне згасання коливань характеризується декрементом згасання, що становить відношення миттєвих значень струму через період.

Натуральний логарифм цього оператора має назву логарифмічного декремента згасання

Для контуру з невеликим згасанням, коли

Аперіодичний режим R-L-C контурі спостерігається при великому згасанні, коли . У цьому випадку коріння P_1,2 речові, негативні, різні.

Вільний струм визначається за формулою

Напруга на індуктивності

Підставивши в рівняння (8.9) та (8.10) t = 0 і використовуючи незалежну та залежну умови, отримаємо систему рівнянь

Вирішивши цю систему, визначимо постійні інтегрування

Вираз для струму в контурі

складається з позитивної, повільно згасаючої експоненти з коефіцієнтом загасання P₁ та негативної, швидко загасаючої експоненти P₂ (Рис. 8.11).

Струм виходить непохитним, він не набуває негативних значень, тобто не змінює свого напряму.
На кордоні між коливальним та аперіодичним режимом при

спостерігається граничний випадок аперіодичного процесу.

Сподобалася стаття? Додай її в закладку (CTRL+D) і не забудь поділитися з друзями:

Систему регулювання можна вважати працездатною, якщо вона не тільки стійка за всіх умов, володіючи достатнім запасом стійкості, необхідним для компенсації можливих змін властивостей об'єкта при різних режимах роботи, але забезпечує необхідну якість регулювання.

При оцінці якості регулювання розглядають перехідний процес регулювання, викликаний ступінчастим збуренням. Показники перехідного процесу (рис. 3.13) – максимальне динамічне відхилення, перерегулювання, час регулювання, залишкове відхилення після закінчення перехідного процесу – служать критеріями якості.

Мал. 3.13. Перехідний процес та якість регулювання:

х_х – Максимальне динамічне відхилення; х₂ – Перерегулювання; 5 – залишкове відхилення; т_р – Час регулювання; х₀ — потенційне відхилення

Слід пам'ятати, що вищі вимоги до якості регулювання, тим складнішою і дорогою буде система. У той же час надмірно жорсткі вимоги до якості регулювання далеко не завжди дійсно потрібні за умовами технічного процесу. При створенні системи управління слід знайти розумний компроміс між якістю регулювання та витратами на автоматизацію. Вимоги до якості роботи системи мають бути суворо обґрунтовані, виходячи з технологічних умов процесу, характеру та величини експлуатаційних збурень, динамічних властивостей об'єкта.

Найважливішим показником якості є максимальне динамічне відхилення х_х регульованої величини від заданого значення під час процесу регулювання.Це відхилення називається динамічним, оскільки має тимчасовий перехідний характер. Найбільшим відхиленням у стійкому процесі буде перше відхилення, що безпосередньо наступає за обуренням.

Величина динамічного відхилення (як та інших характеристик процесу) залежить від динамічних властивостей об'єкта, величини обурення, закону регулювання та налаштування регулятора.

Ступінь обурення регулятора, що знижує динамічне відхилення, характеризується динамічним коефіцієнтом регулювання рівним відношенню максимального відхилення регульованої величини від заданого значення при стрибкоподібному обуренні до відхилення при тому ж обуренні, але без регулятора, потенційному відхилення х₀.

де До_про – Коефіцієнт посилення (передачі) об'єкта, у_п — обурення.

Якість регулювання визначається і часом регулювання т_р – Тривалістю перехідного процесу при регулюванні. Процес регулювання охоплює період часу від моменту внесення обурення до досягнення стану, що знову встановився.

Ступінь коливання перехідного процесу характеризується перерегулюванням – відхиленням другої, протилежно спрямованої, амплітуди коливання х₂ до першої, максимальної амплітуди х відхилення це виражається у відсотках величини х_х. Необхідну величину перерегулювання вибирають виходячи з вимог технологічного процесу, вирішуючи, що доцільніше – менші, але двосторонні відхилення від завдання при більш тривалому процесі регулювання або односторонні відхилення дещо більшої величини, але при більш швидкому досягненні стану, що встановився.

Залишкове відхилення 5 (також зване статистичною помилкою), як випливає з самої назви, характеризує відхилення регульованого параметра від заданого значення під дією обурення.

Про якість регулювання можна судити також за так званими інтегральним оцінкам — значення певних інтегралів за часом деякої функції відхилення регульованої величини. Найбільш поширена на практиці інтегральна оцінка якості, що має вигляд

квадратичні площі відхилення.

Гідність інтегральних оцінок полягає в тому, що вони дають єдиний числовий критерій якості; Недоліком є ​​те, що тому самому значенню інтегральної оцінки можуть відповідати різні форми перехідного процесу, що вносить елемент невизначеності.

Залежно від якісних характеристик прийнято розглядати три типові перехідні процеси.

Аперіодичний процес характеризується мінімальним часом регулювання, відсутністю перерегулювання, мінімальним регулюючим впливом, що є доцільним, коли регулюючий вплив на один об'єкт може призводити до обурювальних впливів на інші об'єкти. Цей процес, на жаль, супроводжується значними динамічним відхиленням та статичною помилкою.

Процес з 20%-ним перерегулюваннямЯк випливає з його назви, характеризується ставленням х₂ /х₁ = 0,2. Він характерний мінімальний час першого полупериода коливань, у якому має місце найбільше відхилення від заданого. Загальний час регулювання більше, ніж в аперіодичному процесі. Максимальне динамічне відхилення та статична помилка менша, ніж у останнього.Цей процес рекомендується реалізувати, коли допустима відома величина перерегулювання, що знижує динамічне відхилення (як і статичну помилку); він також доцільний, якщо за умовами технологічного процесу відхилення керованого параметра після першого нолунеріода коливань малоістотні.

Процес із мінімальною квадратичною площею відхилення характеризується найбільшим перерегулюванням (порядку 40-45%) та часом регулювання, найбільшим регулюючим впливом; але йому властива найменша величина максимального динамічного відхилення та статичної помилки.